Matemática - Números Naturais

Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Edit. Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.

Na seqüência abaixo consideraremos como naturais tendo início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por N*, isto é:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos:

O sucessor de m é m + 1 se, m é um número natural.
O sucessor de 0 é 1.
O sucessor de 1 é 2.
O sucessor de 19 é 20.

obs: Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3, ...). Em alguns contextos, número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um asterisco (*) tira-se o 0 (zero).

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

1 e 2 são números consecutivos
5 e 6 são números consecutivos
50 e 51 são números consecutivos

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 são números consecutivos
5, 6 e 7 são números consecutivos
50, 51, 52 e 53 são números consecutivos

Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos:

O antecessor de m é m-1 se, m é um número natural finito diferente de zero.
O antecessor de 2 é 1.
O antecessor de 56 é 55.
O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a seqüência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}